Um jornaleiro irá receber 21 revistas. Cada uma
terá um carrinho na escala de 1:43 do tamanho real
acompanhando–a em caixinha à parte. Os carrinhos
são embalados com folga de 0,5 cm nas laterais, como
indicado na figura. Assim, o jornaleiro reservou três
prateleiras com 95 cm de comprimento por 7 cm de
largura, onde as caixas serão acomodadas de forma
a caberem inteiramente dentro de cada prateleira.
Além disso, sabe–se que os carrinhos são cópias dos
modelos reais que possuem 387 cm de comprimento
por 172 cm de largura.
Quantos carrinhos, no máximo, cabem em cada uma
das prateleiras?
Uma pizzaria oferece, no cardápio, duas opções de
tamanhos e preços:
Pizza média (6 fatias): R$ 24,00
Pizza grande (8 fatias): R$ 32,00
Um grupo de jovens estava prestes a decidir o tipo de
pizza com melhor custo–benefício, quando um dos amigos
questionou ao garçom a respeito do diâmetro de cada uma
das pizzas. A informação obtida foi de que os diâmetros
das pizzas média e grande eram, respectivamente, 30 cm
e 40 cm. Considerando que os dois tamanhos e preços
das pizzas atendem o grupo e que não haverá desperdício,
iniciou–se um debate entre eles:
• Alan: A pizza grande tem melhor custo–benefício,
pois a área de sua fatia é superior à área da fatia
da pizza média.
• Breno: A pizza média tem melhor custo–benefício,
pois, como é dividida em menos fatias, cada fatia
tem uma maior quantidade de pizza.
• Cleber: As duas apresentam a mesma relação
custo–benefício, já que cada fatia custa R$ 4,00,
independentemente da escolha do tamanho.
• Davidson: Como a razão entre os diâmetros e os
preços das pizzas é a mesma, nenhuma das pizzas
tem melhor custo–benefício que a outra.
• Eric: A pizza grande possui melhor relação custobenefício,
pois, independentemente do diâmetro,
ela é dividida em um número maior de fatias.
Qual jovem apresentou o melhor argumento para a
escolha da pizza?
Nas empresas em geral, são utilizados dois tipos
de copos plásticos descartáveis, ambos com a forma de
troncos de cones circulares retos:
• copos pequenos, para a ingestão de café: raios
das bases iguais a 2,4 cm e 1,8 cm e altura igual
a 3,6 cm;
• copos grandes, para a ingestão de água: raios das
bases iguais a 3,6 cm e 2,4 cm e altura igual a 8,0 cm.
Uma dessas empresas resolve substituir os dois
modelos de copos descartáveis, fornecendo para cada
um de seus funcionários canecas com a forma de um
cilindro circular reto de altura igual a 6 cm e raio da base
de comprimento igual a y centímetros. Tais canecas serão
usadas tanto para beber café como para beber água.
Sabe–se que o volume de um tronco de cone circular
reto, cujos raios das bases são respectivamente iguais a
R e r e a altura é h, é dado pela expressão:
O raio y da base dessas canecas deve ser tal que y2 seja,
no mínimo, igual a
Os procedimentos de decolagem e pouso de uma
aeronave são os momentos mais críticos de operação,
necessitando de concentração total da tripulação e da
torre de controle dos aeroportos. Segundo levantamento
da Boeing, realizado em 2009, grande parte dos acidentes
aéreos com vítimas ocorre após iniciar–se a fase de
descida da aeronave. Desta forma, é essencial para os
procedimentos adequados de segurança monitorar–se o
tempo de descida da aeronave.
A tabela mostra a altitude y de uma aeronave,
registrada pela torre de controle, t minutos após o início
dos procedimentos de pouso.
Considere que, durante todo o procedimento de
pouso, a relação entre y e t é linear.
Disponível em: www.meioaereo.com.
De acordo com os dados apresentados, a relação entre y
e t é dada por
Em uma das paredes de um depósito existem
compartimentos de mesmo tamanho para armazenamento
de caixas de dimensões frontais a e b. A terceira dimensão
da caixa coincide com a profundidade de cada um dos
compartimentos. Inicialmente as caixas são arrumadas,
em cada um deles, como representado na Figura 1.
A fim de aproveitar melhor o espaço, uma nova proposta
de disposição das caixas foi idealizada e está indicada
na Figura 2. Essa nova proposta possibilitaria o aumento
do número de caixas armazenadas de 10 para 12 e a
eliminação de folgas.
É possível ocorrer a troca de arrumação segundo a
nova proposta?
O Índice de Massa Corporal, abreviadamente IMC,
é uma medida internacional adotada pela Organização
Mundial de Saúde (OMS) para indicar se uma pessoa
está com “peso" excessivo para sua altura. O cálculo
do IMC é dado pela fórmula 
sendo m a
massa da pessoa, medida em kg, e h a sua altura,
em metros. Os valores da tabela foram ligeiramente
adaptados com relação aos adotados pela OMS, para
simplicidade nos cálculos.
Assim, segundo a OMS, um indivíduo de 2,10 metros
de altura que pesa 80 kg tem IMC inferior a 19, sendo
classificado como “abaixo do peso".
Se um indivíduo de 144 kg e 2 metros de altura perder
64 kg numa dieta, então este indivíduo migrará da classe
A fi gura apresenta a efi ciência, a vida útil (mil horas)
e o preço médio (R$) dos modelos de lâmpadas mais
usados em residências.
Considere que, para iluminar dois ambientes
com a mesma efi ciência, é necessário que ambos
tenham a mesma quantidade de lúmens por Watt,
independentemente da quantidade de lâmpadas.
Considere também que a relação custo/benefício de
qualquer uma dessas lâmpadas é dada pela razão entre
o preço médio (R$) e a vida útil (mil horas).
Augusto deseja instalar lâmpadas em um dos
ambientes de sua casa, de modo a obter uma eficiência
de exatamente 240 lúmens por Watt.
Dos modelos de lâmpadas apresentados na figura, o que
atende a necessidade de Augusto com a menor relação
custo/benefício é
Uma churrascaria cobra, no almoço, R$ 12,00 por
pessoa. Após às 15 h, esse valor cai para R$ 9,00. Estimase
que o custo total de um almoço seja de R$ 7,00 por
pessoa. Em média, por dia, almoçam na churrascaria
1 000 clientes, sendo que deles comparecem até às 15 h.
Qual o lucro médio, por dia, da churrascaria?
O sistema de numeração romana, hoje em desuso, já foi o principal sistema de numeração da Europa. Nos dias atuais, a numeração romana é usada no nosso cotidiano essencialmente para designar os séculos, mas já foi necessário fazer contas e descrever números bastante grandes nesse sistema de numeração. Para isto, os romanos colocavam um traço sobre o número para representar que esse número deveria ser multiplicado por 1 000. Por exemplo, o número 
representa o número 10 × 1 000, ou seja, 10 000. De acordo com essas informações, os números 
são, respectivamente, iguais aW
O apresentador de um programa de auditório propôs
aos participantes de uma competição a seguinte tarefa:
cada participante teria 10 minutos para recolher moedas
douradas colocadas aleatoriamente em um terreno
destinado à realização da competição. A pontuação dos
competidores seria calculada ao final do tempo destinado
a cada um dos participantes, no qual as moedas coletadas
por eles seriam contadas e a pontuação de cada um
seria calculada, subtraindo do número de moedas
coletadas uma porcentagem de valor igual ao número
de moedas coletadas. Dessa forma, um participante que
coletasse 60 moedas teria sua pontuação calculada da
seguinte forma: pontuação = 60 − 36 (60% de 60) = 24.
O vencedor da prova seria o participante que alcançasse
a maior pontuação.
Qual será o limite máximo de pontos que um competidor
pode alcançar nessa prova?
Um jovem lança uma bola de borracha para observar
sua trajetória e altura h (em metros) atingida ao longo
de um certo intervalo de tempo t (em segundos). Nesse
intervalo, a bola quica no chão algumas vezes, perdendo
altura progressivamente. Parte de sua trajetória está
descrita na figura a seguir.
Em suas observações, quantas vezes o jovem pôde
constatar que a bola atingiu a marca de 35 metros?
Uma aluna registrou as notas de matemática obtidas
nos 3 primeiros bimestres do ano letivo e seus respectivos
pesos no quadro a seguir.
Ela ainda não sabe qual será sua nota de matemática
no quarto bimestre, mas sabe que o peso dessa nota na
média final é 4. As notas variam de zero a dez, sendo
permitida apenas uma casa na parte decimal (caso
contrário a nota será arredondada, usando como critério “se
o algarismo da segunda casa decimal é maior ou igual a 5,
então o algarismo na primeira casa decimal será acrescido
de uma unidade"). A média final mínima para aprovação na
escola dessa aluna é 7. Se ela obtiver média final inferior
a 7, precisará realizar uma outra prova que substitua a
menor das notas bimestrais, de modo a alcançar a média 7
(mantidos os mesmos pesos anteriores).
Se essa aluna precisar realizar uma prova para substituir
a nota que obteve no primeiro bimestre, e tal nota precisar
ser igual a 4,8, é porque a nota que ela obteve no quarto
bimestre foi
O governo de um país criou o Fundo da Soja e do
Milho, que tem como expectativa inicial arrecadar, por
ano, R$ 36,14 milhões para investimento em pesquisas
relacionadas aos principais produtos da agricultura.
Com isso, a cada operação de venda, seriam destinados
ao Fundo R$ 0,28 por tonelada de soja e R$ 0,22 por
tonelada de milho comercializadas. Para este ano,
espera–se que as quantidades de toneladas produzidas,
de soja e de milho, juntas, seja 150,5 milhões.
Foi pedido a cinco funcionários do Fundo, André, Bruno,
Caio, Douglas e Eduardo, que apresentassem um sistema
que modelasse os dados apresentados. Cada funcionário
apresentou um sistema diferente, considerando x e y como as
quantidades de toneladas comercializadas, respectivamente,
de soja e de milho. O resultado foi o seguinte:
O funcionário que fez a modelagem correta foi
Uma maneira muito útil de se criar belas figuras
decorativas utilizando a matemática é pelo processo
de autossemelhança, uma forma de se criar fractais.
Informalmente, dizemos que uma figura é autossemelhante
se partes dessa figura são semelhantes à figura vista como
um todo. Um exemplo clássico é o Carpete de Sierpinski,
criado por um processo recursivo, descrito a seguir:
• Passo 1: Considere um quadrado dividido em
nove quadrados idênticos (Figura 1). Inicia–se o
processo removendo o quadrado central, restando
8 quadrados pretos (Figura 2).
• Passo 2: Repete–se o processo com cada um dos
quadrados restantes, ou seja, divide–se cada um
deles em 9 quadrados idênticos e remove–se o
quadrado central de cada um, restando apenas os
quadrados pretos (Figura 3).
• Passo 3: Repete–se o passo 2.
Admita que esse processo seja executado 3 vezes, ou
seja, divide–se cada um dos quadrados pretos da Figura
3 em 9 quadrados idênticos e remove–se o quadrado
central de cada um deles.
O número de quadrados pretos restantes nesse momento é
Parece que foi ontem. Há 4,57 bilhões de anos,
uma gigantesca nuvem de partículas entrou em colapso
e formou o nosso Sistema Solar. Demoraram míseros
28 milhões de anos — um piscar de olhos em termos
geológicos — para que a Terra surgisse. Isso aconteceu
há 4,54 bilhões de anos. No começo, a superfície do
planeta era mole e muito quente, da ordem de 1 200 °C.
Não demorou tanto assim para a crosta ficar mais fria e
surgirem os mares e a terra; isso aconteceu há 4,2 bilhões
de anos. História da Terra. Superinteressante, nov. 2011 (adaptado).
O nosso Sistema Solar se formou, em anos, há
