Um agricultor é informado sobre um método de proteção para sua lavoura que consiste em inserir larvas específicas, de rápida reprodução. A reprodução dessas larvas faz com que sua população multiplique-se por 10 a cada 3 dias e, para evitar eventuais desequilíbrios, é possível cessar essa reprodução aplicando-se um produto X. O agricultor decide iniciar esse método com 100 larvas e dispõe de 5 litros do produto X, cuja aplicação recomendada é de exatamente 1 litro para cada população de 200 000 larvas. A quantidade
total do produto X de que ele dispõe deverá ser aplicada de uma única vez.
Quantos dias após iniciado esse método o agricultor deverá aplicar o produto X?
O Atomium, representado na imagem, é um dos principais pontos turísticos de Bruxelas. Ele foi construído em 1958 para a primeira grande exposição mundial depois da Segunda Guerra Mundial, a Feira Mundial de Bruxelas.
Trata-se de uma estrutura metálica construída no formato de um cubo. Essa estrutura está apoiada por um dos vértices sobre uma base paralela ao plano do solo, e a diagonal do cubo, contendo esse vértice, é ortogonal ao plano da base. Centradas nos vértices desse cubo, foram construídas oito esferas metálicas, e uma outra esfera foi construída centrada no ponto de interseção das diagonais do cubo. As oito esferas sobre os vértices são interligadas segundo suas arestas, e a esfera central se conecta a elas pelas diagonais do cubo.
Todas essas interligações são feitas por tubos cilíndricos que possuem escadas em seu interior, permitindo o deslocamento de pessoas pela parte interna da estrutura. Na diagonal ortogonal à base, o deslocamento é feito por um elevador, que permite o deslocamento entre as esferas da base e a esfera do ponto mais alto, passando pela esfera central.
Considere um visitante que se deslocou pelo interior do Atomium sempre em linha reta e seguindo o menor trajeto entre dois vértices, passando por todas as arestas e todas as diagonais do cubo.
A projeção ortogonal sobre o plano do solo do trajeto percorrido por esse visitante é representada por
O artista gráfico holandês Maurits Cornelius Escher criou belíssimas obras nas quais as imagens se repetiam, com diferentes tamanhos, induzindo ao raciocínio de repetição infinita das imagens. Inspirado por ele, um artista fez um rascunho de uma obra na qual propunha a ideia de construção de uma sequência de infinitos quadrados, cada vez menores, uns sob os outros, conforme indicado na figura.
O quadrado PRST, com lado de medida 1, é o ponto de partida. O segundo quadrado é construído sob ele tomando-se o ponto médio da base do quadrado anterior e criando-se um novo quadrado, cujo lado corresponde à metade dessa base. Essa sequência de construção se repete recursivamente.
Qual é a medida do lado do centésimo quadrado construído de acordo com esse padrão?
Num octaedro regular, duas faces são consideradas opostas quando não têm nem arestas, nem vértices em comum. Na figura, observa-se um octaedro regular e uma de suas planificações, na qual há uma face colorida na cor cinza escuro e outras quatro faces numeradas.
Qual(is) face(s) ficará(ão) oposta(s) à face de cor cinza escuro, quando o octaedro for reconstruído a partir da planificação dada?
Torneios de tênis, em geral, são disputados em sistema de eliminatória simples. Nesse sistema, são disputadas partidas entre dois competidores, com a eliminação do perdedor e promoção do vencedor para a fase seguinte. Dessa forma, se na 1ª fase o torneio conta com 2n competidores, então na 2ª fase restarão n competidores, e assim sucessivamente até a partida final.
Em um torneio de tênis, disputado nesse sistema, participam 128 tenistas.
Para se definir o campeão desse torneio, o número de partidas necessárias é dado por
Alguns modelos de rádios automotivos estão protegidos por um código de segurança. Para ativar o sistema de áudio, deve-se digitar o código secreto composto por quatro algarismos. No primeiro caso de erro na digitação, a pessoa deve esperar 60 segundos para digitar o código novamente. O tempo de espera duplica, em relação ao tempo de espera anterior, a cada digitação errada. Uma pessoa conseguiu ativar o rádio somente na quarta tentativa, sendo de 30 segundos o tempo gasto para digitação do código secreto a cada tentativa. Nos casos da digitação incorreta, ela iniciou a nova tentativa imediatamente após a liberação do sistema de espera. O tempo total, em segundo, gasto por essa pessoa para ativar o rádio foi igual a
Para comemorar o aniversário de uma cidade, a prefeitura organiza quatro dias consecutivos de atrações culturais. A experiência de anos anteriores mostra que, de um dia para o outro, o número de visitantes no evento é triplicado. É esperada a presença de 345 visitantes para o primeiro dia do evento. Uma representação possível do número esperado de participantes para o último dia é
O acréscimo de tecnologias no sistema produtivo
industrial tem por objetivo reduzir custos e aumentar a
produtividade. No primeiro ano de funcionamento, uma
indústria fabricou 8 000 unidades de um determinado
produto. No ano seguinte, investiu em tecnologia adquirindo
novas máquinas e aumentou a produção em 50%.
Estima-se que esse aumento percentual se repita nos
próximos anos, garantindo um crescimento anual de 50%.
Considere P a quantidade anual de produtos fabricados
no ano t de funcionamento da indústria.
Se a estimativa for alcançada, qual é a expressão que
determina o número de unidades produzidas P em função
de t, para t≥ t1?
Um jovem lança uma bola de borracha para observar
sua trajetória e altura h (em metros) atingida ao longo
de um certo intervalo de tempo t (em segundos). Nesse
intervalo, a bola quica no chão algumas vezes, perdendo
altura progressivamente. Parte de sua trajetória está
descrita na figura a seguir.
Em suas observações, quantas vezes o jovem pôde
constatar que a bola atingiu a marca de 35 metros?
Uma maneira muito útil de se criar belas figuras
decorativas utilizando a matemática é pelo processo
de autossemelhança, uma forma de se criar fractais.
Informalmente, dizemos que uma figura é autossemelhante
se partes dessa figura são semelhantes à figura vista como
um todo. Um exemplo clássico é o Carpete de Sierpinski,
criado por um processo recursivo, descrito a seguir:
• Passo 1: Considere um quadrado dividido em
nove quadrados idênticos (Figura 1). Inicia–se o
processo removendo o quadrado central, restando
8 quadrados pretos (Figura 2).
• Passo 2: Repete–se o processo com cada um dos
quadrados restantes, ou seja, divide–se cada um
deles em 9 quadrados idênticos e remove–se o
quadrado central de cada um, restando apenas os
quadrados pretos (Figura 3).
• Passo 3: Repete–se o passo 2.
Admita que esse processo seja executado 3 vezes, ou
seja, divide–se cada um dos quadrados pretos da Figura
3 em 9 quadrados idênticos e remove–se o quadrado
central de cada um deles.
O número de quadrados pretos restantes nesse momento é
