A soma das raízes reais da equação x6-4x4+x2-4=0 vale:
Em uma prova de Matemática, o professor apresentou a seguinte questão: “Considere os polinômios P(x) = (x + 1)6 e Q(x) = x6. Sabendo-se que P(x) = Q(x), encontre a soma S de todos os valores de x reais que satisfazem a igualdade. Justifique o raciocínio utilizado”. A seguir, são apresentadas as respostas de quatro alunos:
Aluno A: Extraindo a raiz sexta em ambos os membros, tem-se que x+1 = x. Conclui-se que não existe x que satisfaça a equação e, portanto, S é o conjunto vazio.
Aluno B: Observando a equação dada, verifica-se que x = -1/2 é raiz da equação. Como a equação é do sexto grau, S = 6.(-1/2), ou seja, S = -3.
Aluno C: A equação (x + 1)6 = x6 é equivalente a (x + 1)6 – x6 = 0. Fatorando corretamente o primeiro membro da equação, obtém-se uma equação polinomial do 5º grau, cujas raízes são a, b, c, d e e, sendo a = -1/2, b e c complexos conjugados e d e e complexos conjugados, cujas partes reais são -1/2. Assim, S = -3.
Aluno D: A equação (x + 1)6 = x6 é equivalente a (x + 1)6 - x6 = 0. Fatorando corretamente o primeiro membro da equação, obtém-se uma equação polinomial do 5º grau, cujas raízes são a, b, c, d e e, sendo a = -1/2, b e c complexos conjugados e d e e complexos conjugados, cujas partes reais são -1/2. Assim, S = -5/2.
Diante do exposto, analise as assertivas a seguir e assinale a alternativa que aponta as corretas.
I. O aluno A apresentou uma justificativa incorreta e o valor incorreto de S.
II. O aluno B apresentou uma justificativa incorreta, mas o valor correto de S.
III. O aluno C apresentou uma justificativa correta e o valor incorreto de S.
IV. O aluno D apresentou uma justificativa correta e o valor correto de S.
A soma de todas as raízes do polinômio P(x) = x4 - 36x2 - 108 é:
Resolvendo-se a equação algébrica x3 – 7x2 + 16x = 10, identificam-se três raízes distintas. A soma dessas raízes é igual a
Uma das raízes da equação x3-2x+a=0 com coeficientes reais é 1+i, onde i é a unidade imaginária. O valor de a é
Resolvendo-se a equação algébrica x³ – 7x² + 16x = 10, identificam-se três raízes distintas. A soma dessas raízes é igual a
Seja p(x) = x3 + ax2 + bx + c, com a,b,c ∈ Z e tal que a + b + c = −1. Se o número complexo z = 1 − i é uma raiz de p(x), então o polinômio p(x) é dado por
Um professor pediu aos alunos que encontrasse o valor dos números
inteiros m e n nas equações x 2 + mx + 5 = 0 e 2x2 + (n + 1)x + 8 = 0,
sabendo que ambos os polinômios p (x) = x2 + mx + 5 e
q (x) = 2x2 + (n + 1) x + 8 são divisíveis pelo polinômio d(x)= x - 1.
Neste caso podemos afirmar que m e n são iguais a
