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Q642653

Muitos fenômenos probabilísticos seguem uma lei de distribuição denominada Normal, na qual os valores mais frequentes se encontram próximos à média. A curva que representa essa distribuição tem a forma de um sino, é simétrica em torno da média μ, tem no eixo das abscissas uma assíntota horizontal e é determinada pela seguinte função de densidade:

Levando em consideração que cada curva de distribuição Normal é determinada pela sua média μ e pelo seu desvio-padrão σ, Gauss desenvolveu uma forma de padronizá-las em uma única Normal, caracterizada por ter média O e desvio-padrão 1. Assim, a Normal Padrão é determinada pela função na qual cada um dos valores x da função de distribuição Normal N(μ , σ)é convertido em uma nova variável adimensional, designada genericamente por z, a qual tem distribuição Normal N(0, 1 ). A conversão dessa variável se dá por meio da seguinte expressão:

Sabe-se que a área sob o gráfico da função de densidade de probabilidade em determinado intervalo fornece a probabilidade de ocorrência de um valor dentro desse intervalo. Assim, considera-se que a área entre a curva Normal e a assíntota determinada pelo eixo das abscissas é igual a 1.

De acordo com dados obtidos no portal do INEP/MEC relativos aos 11 303 estudantes de Licenciatura em Matemática que realizaram a prova do Enade em 2011, a média e o desvio-padrão do desempenho geral desses estudantes foram, respectivamente, iguais a 32,4 e 11,6 pontos.

Considerando que a distribuição do desempenho desses alunos no ENADE 2011 pode ser aproximada pela distribuição Normal, assinale a alternativa cuja expressão fornece o percentual de estudantes com desempenho inferior a 20,8 pontos ou superior a 55,6 pontos.

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Q642658

Em uma festa infantil, um grupo de 7 crianças - Ana, Beatriz, Carlos, Davi, Eduardo, Fernanda e Gabriela - reuni u-se próximo a uma mesa para brincar de "esconde-esconde", um jogo no qual uma criança é separada dos demais, que procuram locais para se esconder, sem que a escolhida as veja, pois essa tentará encontrá-las após algum tempo estabelecido previamente. Assim, era necessário escolher qual delas seria aquela que iria procurar todas as outras.

Para efetuar essa escolha, as crianças se dispuseram em um círculo na mesma ordem descrita anteriormente e, simultaneamente, mostraram um número de dedos das mãos. Os números de dedos mostrados foram somados, resultando em uma quantidade que vamos chamar de TOTAL. Ana começou a conta r de 1 até o TOTAL, e, a cada número dito, apontava para uma criança da seguinte forma: 1 - Ana, 2 - Beatriz, 3 - Carlos, 4 - Davi, e assim por diante. Quando chegasse ao número TOTAL, a criança correspondente a esse número seria aquela que iria procurar as demais.

Se o número TOTAL é igual a 64, a criança designada para procura r as demais é

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Q642660

Considere uma parábola de foco F e reta diretriz d. Denote por P um ponto pertencente à parábola e por D a sua projeção ortogonal na reta diretriz d.

Representado por r a reta bissetriz do ângulo , avalie as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.

I. A reta r é tangente à parábola no ponto P.

II. Para qualquer ponto Q pertencente à reta r, Q ≠ P, a distância de Q ao ponto D é maior que a distância de Q à reta d.

A respeito dessas asserções, assinale a opção correta.

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Q642696

Para se criar um mapa-múndi, isto é, uma mapa da Terra, é preciso faze r uma projeção cartográfica, que é uma correspondência entre os pontos da Terra (em geral uma esfera) e os pontos do mapa (um plano) de modo que as distâncias sejam preservadas. Existem diversas projeções cartográficas da Terra destinadas à confecção de mapas-múndi, feitas a partir de um modelo esférico da Terra.

Nesse contexto, avalie as seguintes asserções e a relação proposta entre elas.

I. Não existe uma projeção cartográfica perfeita de toda a Terra, isto é, uma isometria que associe a cada ponto de uma esfera um ponto no plano.

PORQUE

II. A curvatura gaussiana da esfera é positiva, enquanto a curvatura gaussiana do plano é zero.

A respeito dessas asserções, assinale a opção correta.

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Q642704

O teorema fundamental do cálculo é uma poderosa ferramenta para a Matemática, pois é amplamente utilizado em suas diversas subáreas. Ao longo da história, diversas versões desse teorema foram demonstradas. Fazendo uso livremente dessas versões, considerando duas funções contínuas no intervalo fechado e limitado e definindo por para todo , avalie as seguintes asserções e a relação proposta entre elas.

Para todo , tem-se que

PORQUE

Se possuí derivada integrável, então

Acerca dessas asserções, assinale a alternativa correta.

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Q642652

Deseja-se pintar a superfície externa e lateral de um monumento em forma de um paraboloide, que pode ser descrita pela equação z = x2 + y2 , situada na região do espaço de coordenadas cartesianas ( x, y, z) dada pela condição z ≤ 9. Os eixos coordenados estão dimensionados em metros e gasta-se um litro e meio de tinta a cada metro quadrado de área da superfície a ser pintada.

A quantidade de tinta, em litros, necessária para se pintar a superfície lateral do monumento é dada pela integral dupla

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Q642657

Considere , uma sequência de números reais positivos tal que

Nesse caso, é igual a

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Q642695

Se V é um espaço vetorial com produto interno sobre o corpo dos números complexos, então, a cada operador linear T : V → V, está associado o operador adjunto de T, denotado por T* : V → V, que se relaciona com T por intermédio do produto interno definido em V. Usando esses dois operadores, é possível definir diversas classes de operadores lineares que possuem aplicações na Matemática e na Física, entre as quais se incluem:

• operadores autoadjuntos são aqueles tais que T* = T;

• operadores anti-autoadjuntos são aqueles tais que T* = -T;

• operadores unitários são aqueles tais que T* = T -1.

Considerando λ ∈ um autovalor complexo qualquer do operador linear T e V um espaço vetorial com produto interno, sobre o corpo , avalie as afirmações a seguir.

I. O número complexo λ também é autovalor de T*.

II. Se T é autoadjunto, então λ ∈ .

III. Se T é anti-autoadjunto, então λ é um número imaginário puro, isto é, λ = bi, com b número real não nulo.

IV. Se T é unitário, então λ = 1 ou λ = -1.

É correto apenas o que se afirma em

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Q642703

O cilindro reto sobre o círculo x2 + y2 = 1 admite parametrização ,em que e

Para se encontrar a primeira forma fundamental dessa superfície regular, foram utilizadas as expressões a seguir.

É correto o que se afirma em

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Q642649

O conjunto é formado pelas matrizes quadradas de ordem 2 com entradas inteiras. Esse conjunto é fechado sob as operações usuais de soma e multiplicação de matrizes, uma vez que as entradas das matrizes resultantes da soma e da multiplicação são números inteiros.

Com relação à estrutura algébrica desse conjunto com as operações descritas, avalie as seguintes asserções e a relação proposta entre elas.

I. O conjunto ,munido das operações usuais de soma e multiplicação, forma um anel.

II. O conjunto ,munido da operação usual de soma de matrizes, forma um grupo e existe o elemento unidade dado pela matriz identidade de ordem 2.

A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta.

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Q642651

Em uma loja de material escolar, as mercadorias caneta, lápis e borracha, de um único tipo cada uma, são vendidas para três estudantes. O primeiro comprou uma caneta, três lápis e duas borrachas pagando R$ 10,00; o segundo adquiriu duas canetas, um lápis e uma borracha pagando R$ 9,00; o terceiro comprou três canetas, quatro lápis e três borrachas pagando R$ 19,00.

Os estudantes, após as compras, sem verificarem os valores de cada mercadoria, procuraram resolver o problema: "A partir das compras efetuadas e dos respectivos valores totais pagos por eles, qual o preço da caneta, do lápis e da borracha?". Para isso, montaram um sistema de equações lineares cujas incógnitas são os preços das mercadorias.

Esse sistema de equações é

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Q642656

Considere uma função diferenciável em todo o seu domínio, com

Se f(1) = 1, então, pelo Teorema do Valor Médio, o valor máximo de f(3) é igual a

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Q642694

Um pesquisador necessita da solução de uma equação diferencial ordinária para implementar em seu código computacional. Resolvendo por meio de série de potências, ele encontra a seguinte solução:

O pesquisador necessita que a solução seja computada com uma precisão de 0,01 no intervalo -2 < x < 2. Para isso, ele escreve os primeiros 200 termos da série no código. No entanto, ao rodar o programa nesse intervalo, ele percebe um comportamento anômalo.

Considerando que o pesquisador não tenha cometido erro ao implementar a série, avalie as afirmações a seguir.

I. A série não pode representa r uma solução no intervalo - 2 < x < 2, pois diverge para |x| > 1.

II. São necessários mais termos do que os que o pesquisador escreveu para atingir a precisão requerida no intervalo -1 < x < 1.

III. A precisão 0,01 não pode ser atingida por essa série de potências.

É correto o que se afirma em

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Q642699

Em topologia dos espaços métricos, é comum o estudo de propriedades relativas a conjuntos abertos, fechados, compactos, conexos, conexos por caminhos, entre outras. Essas características permitem comparar espaços métricos e verificar se são topologicamente equivalentes. A respeito disso, avalie as afirmações a seguir.

I. Se um espaço métrico M pode ser escrito como união de dois conjuntos A e B, disjuntos, abertos e fechados, então M não é conexo.

II. Se M é um espaço métrico, então um conjunto K ⊂ M é compacto se, e somente se, K é fechado e limitado.

III. Se J = [0, 5[ é um intervalo com a métrica induzida de , então o intervalo [0, 1[ é aberto em J.

É correto o que se afirma em

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Q642702

O Teorema de Green é uma grande ferramenta para o cálculo de integrais de linha. Seu resultado permite relacionar uma integral de linha ao longo de um caminho fechado com uma integral dupla sobre a região delimitada por esse caminho.

Utilizando o Teorema de Green, conclui-se que a integral de linha do campo vetorial, , definido por F( x, y) = (y, -x), ao longo do caminho fechado definido pelas curvas h(x) = In(x); y = 0 ; x = 2, é igual a

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GABARITO:

  • 1) C
  • 2) A
  • 3) A
  • 4) A
  • 5) A
  • 6) D
  • 7) B
  • 8) D
  • 9) D
  • 10) B
  • 11) E
  • 12) C
  • 13) A
  • 14) B
  • 15) C
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